Глава 13. Статистические методы в социологии

	Социология (от лат. societas, т.е. общество, и греч. logos, т.е. учение) - наука, изучающая общество. Среди общественных отношений важное место занимают экономические. Изучение предпочтений потребителей входит в состав маркетинговых исследований, поэтому не удивительно, что социологии относят маркетинг к сфере своих профессиональных интересов. Обращает на себя внимание общность методов, применяемых социологами и маркетологами – выборочные исследования (см. главу 1), экспертные оценки (см. главу 11). Впрочем, те же статистические методы используются и в медицинских научных исследованиях (см. главу 12), и в психологии, и во многих иных областях.  
	В социологических исследованиях применяются различные статистические методы и модели анализа данных. После анализа динамики развития статистического инструментария социологов кратко рассмотрим применение теории люсианов для анализа дихотомических данных. Сколько градаций признаков надо использовать в анкетах? Ответ можно получить с помощью методов анализа сгруппированных данных и принципа уравнивания погрешностей. В качестве следствия получаем полезные выводы для теории управления запасами (см. раздел 8.3). Методы  социометрии рассматриваем применительно к управлению малыми группами. Прикладные вопросы обсуждаются в разделах, посвященных анализу данных о научных организациях и маркетингу образовательных услуг (на примере Вечерней математической школы при Московском математическом обществе). 

13.1. Развитие статистического инструментария социологов

	Российская социология бурно растет по всем количественным параметрам. Если в 1989 г. в России было 6 социологических факультетов, отделений, кафедр, то в 2003 г. - уже 105. Число студентов-социологов выросло более чем в 100 раз. Во всех вузах преподают социологию (она вошла в перечень «Общих гуманитарных и социально-экономических дисциплин» государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования). Издается более 20 социологических журналов. Каждый год ВАК утверждает около 50 докторских диссертаций по социологии.
	Очевидно, глубину исследованиям придает использование развитого научного аппарата - методологии и методов сбора и анализа данных, математических моделей. Принципиальный прорыв осуществлен в нашей стране в 1970-е гг. Именно тогда в арсенале отечественных социологов появились теория измерений и нечеткие множества, математические методы классификации и многомерное шкалирование, непараметрическая статистика и статистика нечисловых данных. 
	В дальнейшие десятилетия шло естественное развитие научного аппарата. К сожалению, нельзя сказать, что в последние годы темпы этого развития усилились. Действующие лица 1970-х гг. выпустили учебники, но поток научных результатов в области математических методов в социологии не расширился по сравнению с 1970-ми - периодом «бури и натиска». Из этого следует, что публикации тех лет отнюдь не устарели, они представляют большой интерес для статистиков, социологов и маркетологов XXI века.  
	Итак, социология бурно развивается вширь, но весьма медленно - вглубь. Это вполне естественно. Прочитав в 1970 г. популярную книгу В.Э. Шляпентоха [1], автор настоящего учебника провел свое первое полевое исследование. Несмотря на простоту статистического инструментария, оно позволило решить управленческие задачи, стоявшие перед автором как директором Вечерней математической школы (ВМШ) при Московском математическом обществе. Итоги многолетней деятельности в ВМШ по маркетингу образовательных услуг подведены в монографии [2]. И сейчас наши ученики-маркетологи, готовя выпускные работы на степень магистра делового администрирования, обходятся полевыми исследованиями на столь же простом уровне (см. описание исследования «Потребители растворимого кофе» в главе 1 выше). 
	И лишь постепенно практики приходят к необходимости применять более сложные методы. Например, в крупном маркетинговом агентстве, опрашивающем за год около 0,5 млн. потребителей, в котором автор этих слов работал консультантом, создан специализированный отдел обработки данных, сотрудники которого ежедневно применяли различные алгоритмы статистической обработки данных, в частности, включенные в известный пакет SPSS. 
	Как показывает анализ тезисов докладов и выступлений на II Всероссийском социологическом конгрессе «Российское общество и социология в XXI веке: социальные вызовы и альтернативы», большинство участников конгресса не проводит полевых исследований и не испытывает потребности в применении математических и статистических методов. Такие методы необходимы для продвинутых социологических исследований. Очевидно, с укреплением социологических центров в них возникают подразделения анализа данных, которые сначала пользуются стандартными статистическими пакетами, а затем востребуют и современные методы. 
	В социологии с успехом используются различные методы анализа данных и разнообразные математические модели. Обсудим развитие методов обработки данных в отечественных социологических исследованиях за последние тридцать лет.
	Математические методы выборочных исследований. Выборочные исследования – один из основных инструментов социологов. Для переноса выводов с выборки на всю интересующую исследователя совокупность необходимо использовать вероятностно-статистические методы и модели. Уже в 1970-х гг. в нашей стране активно разрабатывались продвинутые математические и статистические методы анализа данных социологических опросов. Отметим, что работы тех уже далеких лет, как правило, отнюдь не устарели и по-прежнему представляют интерес для специалистов по анализу социологических данных и математическому моделированию социальных процессов. Однако за тридцать прошедших лет в некоторых направлениях удалось существенно продвинуться. Основное содержание настоящего раздела - обсуждение развития ориентированных на социологию статистических методов и моделей за последние тридцать лет в нашей стране.
	Одни и те же математические и статистические методы и модели могут с успехом применяться в самых разных областях науки и практики. Статистические методы и модели весьма эффективны в социологических, социально-экономических, управленческих, технических и технико-экономических исследованиях, медицине, истории, практически в любой прикладной отрасли и области знания. Очевидна связь между исследованиями, выполненными в рамках различных дисциплин. Например, на Втором Всероссийском социологическом конгрессе (2003) активно обсуждалась такая традиционно экономическая тематика, как маркетинговые и инновационные исследования. Однако для специалиста вполне естественным является желание «замкнуться» внутри своей предметной области. Например, довольно странным выглядело бы предложение о преподавании на социологическом факультете в соответствии с учебником по эконометрике. Удивление значительно возросло бы при констатации того, что этот учебник составлен в основном из статей, опубликованных в журнале «Заводская лаборатория» (в прошлом – орган Министерства черной металлургии). Действительно, есть ли что-либо общее у инженера-металлурга, менеджера, экономиста и социолога? Необходимо известное интеллектуальное развитие, чтобы понять, что все эти специалисты могут использовать одни и те же инструменты исследования – статистические методы и модели.
	В рассматриваемой области основное событие последних тридцати лет – это становление научно-практической дисциплины «прикладная статистика», посвященной разработке и применению статистических методов и моделей (см. главу 15 ниже). На Западе аналогичный процесс начался несколько раньше и протекает иначе из-за сложившихся традиций и отличия научно-организационных форм.
	В статье [3] мы рассмотрели развитие идей и научной области, а не персоналии. В краткой, но весьма содержательной сводке [4] описаны основные научные результаты большого числа отечественных исследователей в области статистических методов анализа социологических данных, названы основные исследовательские коллективы Москвы, Петербурга, Новосибирска и многих иных городов, приведена обширная библиография (119 названий). Подробное же описание требует серии книг, а не статьи.
	Специфика социологических данных. В социологии велика доля нечисловых данных. Среди измеряемых факторов от 70% до 90% и более составляют факторы, имеющие нечисловую природу. Примерами нечисловых данных являются:
	- значения качественных признаков, т.е. результаты кодировки объектов (например, ответов на вопросы социологической анкеты) с помощью заданного перечня категорий (градаций); 
	- результаты парных сравнений, т.е. последовательности из 0 и 1; 
	- результаты множественных сравнений и бинарные отношения - упорядочения (ранжировки), классификации (отношения эквивалентности), толерантности, 
	- множества (обычные или нечеткие), 
	- слова, предложения, тексты;
	- векторы, координаты которых - совокупность значений разнотипных признаков, часть из них носит качественный характер, а часть – количественный;
	- ответы на вопросы экспертной, маркетинговой или социологической анкеты, часть из которых носит количественный характер (возможно, интервальный), часть сводится к выбору одной из нескольких подсказок, а часть представляет собой тексты; и т.д.
	Все эти виды нечисловых данных (и многие другие) используются при проведении социологических и маркетинговых исследований. В частности, необходимость обрабатывать результаты измерений в шкалах, отличных от абсолютной (прежде всего в номинальной и порядковой шкалах), объясняет важную роль теории измерений (см. разд. 11.3) в социологии. Большое значение имеет выбор методов обработки данных, адекватных используемым шкалам измерения. Так, в разд. 11.3 построена теория, связывающая способы усреднения данных со шкалами измерения. 
	Ясно из сказанного, что для социологии определяющее значение имеют методы статистического анализа нечисловых данных. В течение 70-х гг. на основе запросов социологии, экономики, техники и медицины развивались конкретные направления статистики объектов нечисловой природы. Были установлены связи между конкретными видами таких объектов, разработаны для них вероятностные модели. Научные итоги этого периода подведены в монографии [5]. Следующий этап (80-е гг.) - выделение статистики нечисловых данных в качестве самостоятельного направления в прикладной статистике. Предварительные итоги были подведены в сборнике научных статей [6], полностью посвященном статистике нечисловых данных. Этот сборник подготовлен комиссией «Статистика нечисловых данных» Научного совета АН СССР по комплексной проблеме «Кибернетика» и Институтом социологии АН СССР.
	К 1990-м годам статистика нечисловых данных с теоретической точки зрения была достаточно хорошо развита, основные идеи, подходы и методы были разработаны и изучены математически, в частности, доказано достаточно много теорем. Наступило время перейти к применению полученных результатов на практике. Одним из примеров такого применения являются работы по социологии науки (см. раздел 13.5 ниже). Современное состояние статистики нечисловых данных отражено в монографии [7]. 

13.2. Перспективы применения люсианов в социологии

	Среди перспективных для социологии статистических методов выделяется по своей практической значимости статистика нечисловых данных, поскольку полученная от респондентов или экспертов информация часто носит нечисловой характер [6, 7]. Частью статистики нечисловых данных является теория люсианов. 
	Наиболее простой (по форме) вопрос к респонденту или к эксперту - это вопрос, на который возможны лишь два ответа - «да» или «нет». В вероятностной модели ответ на такой вопрос описывается испытанием Бернулли, т.е. случайной величиной, принимающей два значения, для определенности, 1 и 0. Событие, которому соответствует ответ, обозначенный как 1, условно называется «успехом». Распределение испытания Бернулли описывается одним числом - вероятностью успеха.
	При опросе респондентов и при проведении экспертного опроса задают не один вопрос, а несколько. Пусть на каждый из них возможны лишь два ответа. Тогда совокупность ответов кодируется последовательностью из 1 и 0. Ясно поэтому, что среди вероятностно-статистических методов анализа социологических данных центральное место должны занимать методы теории люсианов. 
	Люсианы - это конечные (длины k) последовательности независимых испытаний Бернулли с, вообще говоря, разными вероятностями успеха [7]. Распределение люсиана A задается вектором параметров P = (p1, p2..., pk), где pi - вероятность того, что i-я координата люсиана А равна 1 (и с вероятностью 1 - pi она равна 0), i  = 1, 2, ..., k. 
	В теории люсианов центральное место занимают методы проверки трех гипотез - согласованности, однородности и независимости [7]. 
	Пусть A1, A2, ..., As - независимые (между собой) люсианы с векторами параметров Р1, Р2, ..., Рs соответственно. Гипотезой согласованности люсианов называют гипотезу 
Р1 = Р2 = ...= Рs.
	Случайные толерантности - частный случай люсианов [5, 7]. Для других видов бинарных отношений, широко используемых в экспертных технологиях, - ранжировок и разбиений - под согласованностью понимают более частную гипотезу, предполагающую отрицание равномерности распределений (т.е. одинаковой вероятности появления каждой возможной ранжировки или разбиения), что соответствует замене гипотезы согласованности на гипотезу равномерности 
Р1 = Р2 = ...= Рs = (1/2, 1/2, ..., 1/2).
	Гипотеза согласованности, очевидно, более адекватна конкретным задачам обработки данных опросов или экспертных оценок, чем гипотеза равномерности. Поэтому реальные данные, обычно содержащие противоречия, целесообразно рассматривать как люсианы и проверять гипотезу согласованности, а не подбирать ближайшие ранжировки или разбиения с дальнейшей проверкой согласованности методами теории случайных ранжировок или разбиений, как иногда рекомендуется. 
	Пусть A1, A2, ..., Am и B1, B2, ..., Bn - независимые в совокупности люсианы длины k, одинаково распределенные в каждой группе с параметрами Р(А) и Р(В) соответственно. Гипотезой однородности называют гипотезу
Р(А) = Р(В).
	Пусть (Ai, Bi), i = 1. 2, ..., s - последовательность (фиксированной длины) пар люсианов. Пары предполагаются независимыми между собой. Требуется проверить гипотезу независимости Ai и Bi, т.е. независимость внутри пар. В ранее введенных обозначениях гипотеза независимости - это гипотеза 
P(Xij(A) = 1, Xij(B) = 1) = P(Xij(A) = 1)P(Xij(B) = 1), где i = 1, ..., s; j = 1, ..., k,
проверяемая в предположении 
Р1(А) = Р2(А) = ... = Рs(А), Р1(B) = Р2(B) = ... = Рs(B).
	В последние десятилетия (с начала 70-х гг.) в прикладной статистике все большее распространение получают постановки, в которых число неизвестных параметров растет вместе с объемом выборки. Результаты, полученные в подобных постановках, называют найденными «в асимптотике растущей размерности» или «в асимптотике А.Н.Колмогорова», перенося терминологию исследований по дискриминантному анализу на общий случай. Эта асимптотика естественна при обработке многих видов технических, организационно-экономических, социологических, медицинских данных. В теории люсианов используем асимптотику растущей размерности s = const, k → ∞. При проверке однородности принимаем, что m и n постоянны, а k → ∞. При этом число неизвестных параметров растет пропорционально объему данных. 
	Для проверки рассматриваемых гипотез применяем метод, основанный на использовании несмещенных оценок, построенных по малым выборкам [5, 7]. При этом исходим из вектора попарных расстояний между люсианами ξ = {d(Ap, Aq), 1 < p < q < s}, в котором пары индексов (p, q) упорядочены лексикографически, а расстояние d(Ap, Aq) - число несовпадающих координат в векторах Ap и Aq. Расчетные формулы и алгоритмы приведены в литературе [5, 7].
	Метод проверки гипотез. Пусть имеются k выборок, независимых между собой. Пусть при справедливости нулевой гипотезы по каждой из выборок можно построить несмещенную оценку  векторного нуля , где р > 1, i = 1, 2, ..., k. Другими словами, пусть распределение i-ой выборки описывается параметром θi, лежащим в произвольном пространстве, а нулевая гипотеза, очевидно, состоит в том, что θiΘ0i, где Θ0i - собственное подмножество множества {θi}. Предполагается, что можно по i-ой выборке вычислить статистику ξi такую, что 
Mξi = 0		(13.1)
при всех θiΘ0i. Очевидно, ξi ≡ 0 удовлетворяют (13.1). Однако для рассматриваемого метода необходимо, чтобы при всех θiΘ0i ковариационная матрица вектора ξi была ненулевой:
.		(13.2)
	Следующее предположение - ковариационные матрицы статистик ξi, т.е. Cov(ξi), также допускают несмещенные оценки Si по тем же выборкам:
M(Si) = Cov(ξi)		(13.3)
при всех θiΘ0i. 
	Рассматриваемый метод основан на том, что поскольку случайные вектора ξi определяются по независимым между собой выборкам, то ξi независимы в совокупности, а потому случайный вектор
		(13.4)
является суммой независимых случайных векторов, имеет в силу (13.1) нулевое математическое ожидание, а его ковариационная матрица равна 
.
	При справедливости многомерной центральной предельной теоремы (простейшее условие справедливости этой теоремы для ξi в случае люсианов - отделенность от 0 и 1 всех элементов матриц Pj, равномерная по s и k) вектор ξ является асимптотически нормальным, т.е. при k → ∞ распределение ξ сближается (в смысле, раскрытом в главе 14) с многомерным нормальным распределением N(0; Ck). 
	Однако эту сходимость нельзя непосредственно использовать для проверки исходной гипотезы, поскольку матрица Ck неизвестна статистику. Необходимо оценить эту матрицу по статистическим данным. В силу (13.3) в качестве оценки Ck естественно использовать 
.
Простейшая формулировка условий справедливости такой замены - предположение о том, что к последовательности Si можно применить закон больших чисел. А именно, пусть существует неотрицательно определенная матрица С такая, что при k → ∞
.		(13.5)
В силу результатов главы 14 из асимптотической нормальности ξ и соотношений (13.5) следует, что распределение статистики

сходится к нормальному распределению N(0; C). При этом, если некоторый случайный вектор τ имеет распределение N(0; C), то распределение случайной величины q(η) сходится к распределению q(τ) для произвольной интегрируемой по Риману по любому кубу функции q: Rp → R1. Для проверки нулевой гипотезы предлагается пользоваться статистикой q(η) при подходящей функции q, а процентные точки брать соответственно распределению q(τ). В этом и состоит рассматриваемый метод проверки гипотез о люсианах в асимптотике растущей размерности. Для реальных расчетов целесообразно использовать линейные или квадратические функции  q от координат вектора η.
	Отклонения от нулевой гипотезы приводят, как правило, к нарушению равенств (13.1) и (13.3). Случайный вектор η при этом обычно остается асимптотически нормальным.
	Несмещенные оценки параметров асимптотического распределения вектора попарных расстояний. Применим описанный выше метод для проверки гипотезы согласованности люсианов. Исходные данные - люсианы
Aj = (X1j, X2j, ..., Xkj), j = 1, 2, ..., s.
В качестве i-й выборки возьмем совокупность испытаний Бернулли, стоящих на i-м месте в рассматриваемых люсианах:  
Xi1, Xi2, ..., Xis.		(13.6)
При справедливости нулевой гипотезы в (13.6) стоят независимые испытания Бернулли с одной и той же вероятностью успеха pi; при нарушении нулевой гипотезы согласованности независимость испытаний Бернулли сохраняется, но вероятности успеха могут различаться.
	В качестве вектора ξ, на основе которого строятся статистики для проверки согласованности, будем использовать вектор попарных расстояний между люсианами
ξ = {d(Ap, Aq), 1 < p < q < s},		(13.7)
в котором пары (p, q) упорядочены лексикографически,
.	(13.8)
	Из вида расстояния в формуле (13.8) следует, что введенный в (13.7) вектор ξ является суммой независимых векторов, а именно, имеет вид (13.4) с 
ξi = μi{|Xip - Xiq|, 1 < p < q < s}.	(13.9)
Следовательно, для применения описанного выше метода проверки гипотез о люсианах в асимптотике растущей размерности достаточно построить на основе вектора ξi из (13.9) несмещенную оценку 0 и найти несмещенную оценку ковариационной матрицы этой оценки. 
	Чтобы применить общую схему, необходимо начать с построения статистики β такой, чтобы при всех pi имело место равенство
M(|Xip - Xiq| - β) - 0,  1 < p < q < s.
Элементарный расчет дает:
M|Xip - Xiq| = 2pi (1 - pi).
	Как известно [7], несмещенная оценка многочлена 

по результатам m независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха р в каждом имеет вид
,		(13.10)
где γ - общее число успехов в m испытаниях и использовано обозначение
n[h] = n(n - 1)...(n - h + 1).
Ясно, что многочлены степени m + 1 и более высокой невозможно несмещенно оценить по результатам m испытаний.
	В случае f(p) = 2p(1 - p) в соответствии с (13.10) получаем несмещенную оценку
. 		(13.11)
	Таким образом, можно применять общий метод проверки гипотез о люсианах в асимптотике растущей размерности с
ξi = μi ({|Xip - Xiq|, 1 < p < q < s} - βie),
где коэффициенты βi определяются с помощью формулы (13.11) по γi - общему числу единиц, стоящих на i-м месте в люсианах A1, A2, ..., As, а e - вектор размерности s(s - 1)/2 с единичными координатами. Тогда несмещенная оценка 0, о которой идет речь в методе проверки гипотез по совокупности малых выборок, имеет вид
.
	Для использования статистики типа η, распределение которой приближается с помощью нормального распределения
,
необходимо уметь несмещенно оценивать ковариационные матрицы Cov(ξi). Для этого достаточно найти математические ожидания элементов матрицы  как функции (многочлены) от pi, а затем использовать формулу (13.10) для получения несмещенных оценок. 
	Вычисление матрицы  хотя и трудоемко, но не содержит каких-либо принципиальных трудностей. В [8] вычислены диагональные элементы рассматриваемой матрицы. Вычисление занимает около 2,5 книжных страниц (с.299-301). Поэтому здесь приведен только окончательный итог.
	Обозначим для краткости pi = р. В [8] показано, что
.
Если двухэлементные множества {p, q} и {r, t} не имеют ни одного общего элемента, то 
,
а если имеют ровно один общий элемент, то 
.
	С помощью формулы (13.10) получаем несмещенные оценки для D, C1 и C2 как многочленов от р:
,
,
.
С помощью трех чисел  выписывается несмещенная оценка матрицы ковариаций вектора ξi/μi, которую обозначим Bi. Тогда асимптотически нормальный вектор ξ имеет нулевое математическое ожидание и ковариационную матрицу, несмещенно и состоятельно (в смысле соотношений (13.5)) оцениваемую с помощью 
.		(13.12)
	Асимптотическая нормальность доказывается в схеме серий. Достаточным условием является существование положительной константы ε такой, что
		(13.13)
при всех k и i, 1 < i < k.
	Поскольку D, C1 и C2 являются многочленами четвертой степени от р, то несмещенные оценки для них существуют при s > 4. Если же s < 4, то несмещенных оценок не существует. Поэтому указанным методом проверять согласованность можно лишь при числе люсианов s > 4.
	Проверка согласованности люсианов. Пусть α - нормально распределенный случайный вектор размерности s(s - 1)/2 с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей, определенной формулой (13.12). Вместо распределения f(ξ) для построения критериев проверки гипотез можно использовать распределение f(α). Более того, аналогичный результат верен при замене f на fn (при слабых внутриматематических условиях регулярности, наложенных на последовательность функций fn). Следовательно, для проверки гипотезы согласованности люсианов можно пользоваться любой статистикой fn(ξ), для которой могут быть вычислены на ЭВМ или заранее табулированы процентные точки распределения fn(α), аппроксимирующего распределение fn(ξ).
	В частности, можно использовать линейные статистики, представляющие собой скалярное произведение случайного вектора ξ и некоторого заданного детерминированного вектора коэффициентов а, т.е.
.		(13.14)
Линейные статистики имеют нулевое математическое ожидание и дисперсию, очевидным образом выражающуюся через матрицу коэффициентов ||aij|| и числа D, C1 и C2, а потому несмещенно и состоятельно оцениваемую с помощью с помощью выписанных выше оценок для D, C1 и C2.
	Отметим, что (ξ, а) = 0 при aij ≡ 1, 1 < j < t < s. Это следует как из непосредственного вычисления дисперсии (ξ, а), так и из того, что (ξ, а) в рассматриваемом случае выражается через достаточную статистику (γ1, γ2, ..., γk) и является несмещенной оценкой нуля, а семейство биномиальных распределений полно, т.е. существует только одна несмещенная оценка нуля - тождественный нуль. Таким образом, сумма координат вектора ξ, т.е. непосредственный аналог коэффициента ранговой конкордации Кендалла-Смита из теории ранговой корреляции, тождественно равна 0. 
	Распределение статистики (13.14) при альтернативах изучено в кандидатской диссертации Г.В. Рыдановой (см. [7]). Рассмотрим два частных случая. 
	Первый частный случай. Проверка согласованности двух определенных люсианов (ответов двух экспертов), j-го и t-го, может осуществляться с помощью статистики (13.14), в которой отличен от 0 только член с ajt = 1. Оценкой дисперсии является D*.
	Второй частный случай. Пусть необходимо проверить согласованность люсианов с одним из них, скажем, с j-м (например, люсианы отражают мнения экспертов, а j-й из них является наиболее компетентным - по априорной оценке, или «лицом, принимающим решения», или его мнение сильно отличается от мнений остальных). Это можно сделать с помощью статистики (13.14), в которой 
ajt = 1, t -= j + 1, j + 2, ..., s;   atj = 1, t = 1, 2, ..., j - 1;
aqt =0, q ≠ j, t ≠ j, 1 < q < t < s.
Другими словами, она имеет вид
,		(13.15)
где расстояние d между люсианами определено в (13.8), а βi  - в (13.11) с заменой m на s и γ на γi. Используя полученные ранее несмещенные оценки элементов ковариационной матрицы, нетрудно показать, что несмещенная и состоятельная (в смысле формулы (13.5) выше) оценка дисперсии W имеет вид
.
Тогда при выполнении некоторых внутриматематических условий регулярности, например, условий (13.13), распределение статистики 

сходится при k → ∞, s = const к стандартному нормальному распределению с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1 (при справедливости гипотезы (13.1) согласованности люсианов).
	Исследования по теории люсианов, в том числе выполненные Г.В. Рыдановой, Т.Н. Дылько, Г.В. Раушенбахом, О.В. Филипповым, А.М. Никифоровым, рассмотрены в монографиях [5, 7] и на сайте «Высокие статистические технологии» (http://orlovs.pp.ru). 
	Методы моделирования и анализа данных опросов и экспертных мнений, основанные на теории люсианов, заслуживают теоретического развития и широкого практического использования в социологии, а также в смежных областях - в маркетинговых исследованиях и при подготовке управленческих решений.

13.3. Асимптотика квантования и выбор числа градаций 
в социологических анкетах

	Наличие погрешностей наблюдений приводит к тому, что результат наблюдения приходится рассматривать не как число, а как объект более сложной природы. «Размытость» реального результата наблюдения можно моделировать различными способами. В классической метрологии погрешность моделируется случайной величиной, математическое ожидание которой называют систематической ошибкой, а соответствующую центрированную случайную величину – случайной ошибкой. В статистике применяют группировку данных (см. раздел 3.5). Более общий подход состоит в использовании нечетких чисел. Развиты методы статистики интервальных данных [7]. Наличие погрешностей наблюдений приводит к существенному изменению свойств статистических процедур.
	Об учете ошибок в ответах респондентов. Рассмотрим один подход к определению шага квантования (группировки) при переходе от непрерывной шкалы к дискретной. Прикладная цель – выбор числа градаций в социологических анкетах [5]. В соответствии с методологией общей теории устойчивости (см. раздел 14.6) предлагается выбирать шаг так, чтобы ошибки, порожденные квантованием, были того же порядка, что и ошибки, присущие ответам респондентов (опрашиваемых). При конечном интервале изменения значений измеряемого признака шаг шкалы однозначно определяет число градаций. Оказывается, во многих вопросах закрытого типа достаточно указывать 3 – 6 градаций ответов (подсказок). Этот вполне конкретный вывод следует из теории, развитой в настоящем разделе. 
	Разработаем вероятностную модель, которую будем изучать. Пусть  - истинное значение какого-либо признака. Респондент «измеряет» это значение с какой-то ошибкой, и его мнение отражает число , где  - случайная ошибка, присущая респонденту. Социолог просит респондента назвать не , а одну из градаций, включенных в систему баллов, т.е. одно из чисел kh, k = 0, +1, +2, +3, …, где h – шаг шкалы. Естественно принять модель, согласно которой респондент называет градацию , наиболее близкую к его мнению . В результате социолог получает от респондента число , где  и . Здесь  - методическая ошибка, порожденная инструментом социолога – системой баллов. 
	Очевидно, описанная процедура с ошибками двух типов – ошибкой измерения и ошибкой округления – применима для описания процесса измерения в различных областях, если итог выражается в равномерной шкале с конечным числом градаций. В частности, при оценке качества продукции в баллах, при выводе результата измерения на экран в цифровой форме, и т.д.
	Рассмотрим теперь n респондентов, независимо друг от друга отвечающих на вопросы социолога. Респонденту с номером i соответствует истинное значение  (например, месячный доход или средние затраты времени на просмотр программ телевидения), о которых респондент имеет мнение  (или же: хочет сообщить социологу , а не ). Используя систему баллов с шагом h, социолог получает . Предположим, что социолога интересует среднее истинных значений по выборке, т.е.
.
Однако социолог может вычислить лишь
,		(13.16)
где
.
В (13.16)  - ошибка, обусловленная природой респондентов,  - ошибка, связанная с использованием исследовательского инструмента – системы баллов. Уменьшение шага h (т.е. увеличение числа градаций) уменьшает суммарную ошибку, уменьшая дисперсию , однако дисперсия  при этом не меняется, а потому дисперсия суммарной ошибки всегда больше дисперсии . С другой стороны, увеличение числа градаций приводит к возрастанию сложности проведения опроса, к увеличению затрат на социологическое исследование. Поэтому чрезмерное увеличение числа градаций, т.е. чрезмерное уменьшение h, нецелесообразно. Согласно «принципу уравнивания погрешностей» в общей схеме устойчивости (см. раздел 14.6) рациональным является такое h, при котором ошибки респондентов и ошибки исследовательского инструмента имеют одинаковый порядок. Чтобы вычислить указанные ошибки, необходимо построить вероятностную модель поведения совокупности респондентов.
	Будем считать, что  - независимые случайные величины, имеющими математические ожидания и дисперсии, причем

т.е. мнение респондента, зависящее от случайных величин, является в среднем правильным (не содержит систематической ошибки). (Это предположение, разумеется, выполнено не всегда – влияние систематических погрешностей на статистические выводы продемонстрировано в статистике интервальных данных, см., например, [7, гл.4].) Отметим, что  также являются независимыми случайными величинами (поскольку  - функции от случайных величин ). Ниже будет показано, что 
,
кроме того,  и  при каждом i являются асимптотически независимыми при . При малом h и большом n в силу многомерной центральной предельной теоремы и теорем о наследовании сходимости (см. разделы 14.2 и 14.3 соответственно) величины  и  можно считать независимыми и нормально распределенными, а потому при указанных условиях случайная величина  асимптотически нормальна, причем
.
	Условие «однопорядковости ошибок» приводит к рекомендации определять h из соотношения
.		(13.17)
В разделе 3.5 установлено, что 
.
Поэтому  в (13.17) можно заменить при  на (n-1h2)/12. Если предположить, что ошибки всех респондентов имеют одинаковую дисперсию, т.е. , то (13.17) можно преобразовать к эквивалентному при  виду
,		(13.18)
откуда 
.		(13.19)
	Соотношения (13.18) и (13.19) можно получить другим путем, исходя из уравнивания вероятностей неправильного упорядочения двух совокупностей (по двум рассматриваемым причинам). Опишем в терминах социологии соответствующую постановку задачи.
	Пусть каждый респондент оценивает значения двух признаков. Так, в известных исследованиях В.Н. Шубкина школьники оценивали привлекательность различных профессий. Пусть (1) и (2) – «истинные значения» рассматриваемых признаков для i-го респондента, (1) и (2) – то, что i-й респондент хотел бы сообщить социологу, т.е. истинные значения, искаженные из-за ошибок респондента; (1) и (2) – полученные социологом ответы, «привязанные» к градациям шкалы. Можно интерпретировать дисперсии D((1)) и D((2)) как показатели «нечеткости» мнений респондентов, их изменчивости при повторном опыте через небольшой промежуток времени.
	Пусть  - средние арифметические соответствующих показателей для первого признака, а  - для второго. Предположим, социолога интересует, что больше -  или . Для ответа на этот вопрос он сравнивает  и , причем принимает, что - имеет тот же знак, что и -. Такая процедура может привести к ошибочному заключению о знаке -. Опять можно выделить ошибки респондента и ошибки исследовательского инструмента. Последние имеют место, если 
.
	Пусть для определенности -. Описанная выше процедура приводит к ошибке, если -, т.е.
.		(13.20)
	Чтобы найти вероятность осуществления события (13.20), построим вероятностную модель. Примем все предположения, описанные выше для одного признака, и добавим, что оценивание различных признаков проводится независимо. Тогда  при больших n и малых h можно рассматривать как четыре независимые в совокупности нормальные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями. Тогда () - нормальная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией , а потому вероятность осуществления события (13.20) есть 
,
где  - функция распределения стандартной нормальной случайной величины с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Условие «однопорядковости» порождающих ошибку причин приводит к равенству 
.		(13.21)
В случае  и  условие (13.21) переходит в (13.17), а при одинаковости дисперсий респондентов – в (13.19).
	Процесс получения случайной величины  по случайной величине  естественно назвать «квантованием» или, если угодно, «дискретизацией». Выше описаны способы применения квантования в социологии. Есть и другие возможности его применения, связанные, например, с управлением запасами (в конце настоящего раздела мы получим результаты, примыкающие к рассмотрениям раздела 8.3) или с округлением чисел при вычислениях на ЭВМ. 
	Предельная теорема о квантовании. Перейдем к изучению асимптотических свойств квантования при . Нам понадобятся вспомогательные утверждения - две леммы.
	Лемма 1. Пусть функции  и  таковы, что |f(x)|<g(|x|) при всех x, функция g строго убывает, причем существует
.
Рассмотрим последовательность точек числовой прямой ak таких, что . Тогда 
.
	Доказательство. Пусть сначала k > 1. Тогда
|f(ak)| < g(ak) < g(kh) < g(x)		(13.22)
при всех . Проинтегрировав (13.22) по , имеем
.		(13.23)
Из (13.23) следует оценка
.		(13.24)
Аналогично можно получить неравенство
.		(13.25)
Наконец,
.		(13.26)
Из (13.24), (13.25) и (13.26) следует требуемое.
	Лемма 2. Пусть
а) функция  дважды непрерывно дифференцируема на R1;
б) ;
в) ;
г) существует строго убывающая интегрируемая функция  такая, что  при всех 
	Тогда при всех 0 < y < h справедливо неравенство
.
	Доказательство. Разложим функцию f(x) в точке a по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Пользуясь этим разложением на отрезке [a; a+y), получим равенство
,  (13.27)
где функция K(a, z) такова:
.	(13.28)
Полагая в (13.27) a = kh, k = 0, +1, +2, …, суммируя по k и пользуясь условием б) настоящей леммы, приходим к разложению
. 	(13.29)
Оценим каждую из сумм в правой части (13.29) по отдельности. Согласно (13.28) при 0 < y < h имеем 
.		(13.30)
Из (13.30), леммы 1 и условия г) настоящей леммы следует, что вторая сумма в (13.29) не превосходит
.		(13.31)
С помощью формулы Тейлора и условия в) нетрудно показать, что 
,		(13.32)
где 
.
Поскольку 
,
то с помощью условия г) и леммы 1 заключаем, что 
.		(13.33)
Из (13.29), (13.32), (13.33) и неравенства

следует, что первая сумма в (13.29) не превосходит
.		(13.34)
Из (13.31) и (13.34) вытекает заключение леммы 2. Итак, лемма 2 полностью доказана.
	Теорема 1. Пусть плотность f(x) случайной величины  удовлетворяет условиям леммы 2. Пусть  - ближайший к  элемент системы баллов {kh, k = 0, +1, +2, …}, т.е. , где {kh, k = 0, +1, +2, …} и . Тогда  и  асимптотически независимы при , т.е. 
		(13.35)
	Доказательство. Пусть целая часть числа  равна z. Имеем
.	(13.36)
Незначительное изменение доказательства леммы 2 дает, что сумма в формуле (13.36) есть
.		(13.37)
Действительно, 
.	(13.38)
Оценка (13.31) для суммы в (13.38) сохраняется. Вместо (13.32) имеем
	(13.39)
и соответственно вместо (13.34) – 
,		(13.40)
откуда и следует (13.37), причем равномерно по y и z . При этом использовалось, что согласно условиям а) и в) леммы 2 
.		(13.41)
А именно, из (13.41) следует равномерность по z. Кроме того, из (13.41) вытекает, что 
,		(13.42)
причем равномерно по x, y. С помощью (13.37) и (13.42) можно привести (13.36) к виду
		(13.43)
При этом использовано то, что
.
	Наконец, из леммы 2 следует, что 
.		(13.44)
Из (13.43), (13.44) и отмеченной выше равномерности оценок следует (13.35), причем можно добавить, что используемый в (13.35) супремум есть O(h). Теорема 1 доказана.
	Формула (13.44) представляет самостоятельный интерес: она показывает, что нормированная ошибка округления  имеет при  асимптотически равномерное распределение на отрезке [-0,5; +0,5], причем сходимость весьма быстрая. Этот факт будет использован ниже при применении полученных в настоящем разделе результатов в задачах управления запасами (логистике).
	Теорема 2. Пусть плотность f(x) случайной величины  удовлетворяет условиям а) – г) леммы 2, причем математическое ожидание  существует. Тогда для определенной в теореме 1 нормированной ошибки округления  имеем
.		(13.45)
	Доказательство. Теорема 1 показывает, что распределение случайного вектора  сходится к распределению случайного вектора  при , где  - независимая от  случайная величина с равномерным распределением на отрезке [-0,5; +0,5].
	Отсюда следует, что при любом фиксированном N
,		(13.46)
где 
		(13.47)
Для доказательства достаточно сослаться на двумерный аналог утверждения, известного как первая теорема Хелли, вторая теорема Хелли, лемма Хелли - Брея (см. раздел 4.3 выше). 
	Из независимости  и  следует, что  и  также независимы. Поскольку , то .
	Для завершения доказательства достаточно показать, что
.		(13.48)
Действительно, поскольку  при любом , то
  (13.49)
Остается заметить что последний член цепочки неравенств (13.49) стремится к 0 при  в силу существования математического ожидания . Теорема 2 доказана. 
	Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2 и, кроме того, дисперсия  существует. Тогда при  коэффициент корреляции между  и  стремится к 0.
	Доказательство. В силу теоремы 1 (формула (13.44)) и цитированного в теореме 2 двумерного аналога теоремы Хелли
.		(13.50)
В силу теоремы 2
.		(13.51)
Из (13.50) и (13.51) следует, что
.		(13.52)
Для завершения доказательства теоремы 3 достаточно использовать (13.52) и еще раз сослаться на второе соотношение в (13.50) и на то, что  существует и не равна 0.
	Доказаны все утверждения, необходимые для обоснования проведенных в начале раздела рассуждений, с помощью которых был получены формулы (13.18) и (13.19). Нет необходимости подробно расписывать применение многомерной центральной теоремы (раздел 14.2) и теорем о наследовании сходимости (раздел 14.3) к векторам  и () с целью получения этих формул.
	Рекомендации по выбору числа градаций в социологических анкетах. Пусть от респондента требуется оценить интенсивность какого-либо качества в процентах (т.е. рассматриваемые величины меняются в интервале от 0% до 100%). С помощью формулы (13.19) можно найти требуемое число градаций k. А именно, 
.
Поскольку k – натуральное число, можно рекомендовать к практическому использованию формулу
, 		(13.53)
где квадратными скобками обозначена операция взятия целой части числа. Так, при  = 10 (%) в соответствии с (38) k =3, при  =5 (%) соответственно k = 6. Серединными точками интервалов являются 17%, 50%, 83% в первом случае и 8,3%, 25% и т.д. - во втором. 
	Дисперсию ошибки респондента можно оценить при пилотаже (пробном исследовании) ли найти иными способами, имеющимися в многочисленных работах по методике социологических опросов. Для многих социологических данных среднее квадратическое отклонение мнения респондента  имеет порядок 5-10% и более. Аналогичный порядок точности для экономико-статистических данных приводит и Оскар Моргенштерн в своей известной книге «О точности экономико-статистических наблюдений».
	Наши результаты показывают, что во многих социологических анкетах целесообразно использовать не более 3 – 6 градаций. Разумеется, эти формально-математические аргументы не могут служить единственным основанием при выборе числа градаций. Какова же их польза? Они могут служить ориентиром и, что по нашему мнению более важно, обосновывают корректность эмпирически применяемых мощностей множества градаций (в данном случае мощность конечного множества – это число его элементов). По данным [9], массивы данных в социологии на 92% состоят из значений качественных признаков, что и объясняет больше значение статистики нечисловых данных для социологических исследований. Присоединяясь в целом к высказанному в этой работе [9] пожеланию шире использовать в социологии многомерный статистический анализ и другие методы, основанные на признаках, измеренных в количественных шкалах (интервалов, отношений и др.), необходимо подчеркнуть, что квантование шкалы является эмпирически найденным приемом, повышающим обоснованность выводов статистического анализа социологических данных путем повышения устойчивости к ошибкам респондентов. Выше дано теоретическое обоснование этому эмпирическому приему.
	Теория асимптотического квантования опубликована в конце 70-х гг. (см. [5, раздел 2.6]). Она использовалась, например, в работах В.А. Глотова и В.В. Павельевой. Ф.Н. Ильясов провел их экспериментальную проверку, в результате от 13 градаций в исходной шкале перешел к шкале с 6 градациями.
	Есть и иные способы определения необходимого числа градаций. 
	Применения в управлении запасами. Идея «квантования» имеет применения не только в социологии. Применять ее можно не только для выбора числа градаций. Так, весьма интересны два применения идеи «квантования» в теории управления запасами – в двухуровневой модели (полезны теоремы 1 - 3) и в классической модели Вильсона с учетом отклонений от нее (демонстрируется польза «квантования» как способа повышения устойчивости). В очередной раз видим взаимопроникновение статистических методов, возникших для анализа данных из различных предметных областей, в данном случае, из социологии и логистики. Имеем новое подтверждение того, что статистические методы – единая научно-практическая область, которую нецелесообразно делить по областям применения. 
	Введение в теорию управления запасами дано в разделе 8.3. Напомним, что в математических терминах двухуровневая однопродуктовая модель работы склада формулируется следующим образом. 
	Пусть - последовательность неотрицательных независимых одинаково распределенных случайных величин (последовательность величин заявок со стороны потребителей). Пусть  - неубывающий кусочно-постоянный случайный процесс на , независимый от последовательности  и имеющий скачки величиной 1 в точках , причем  (процесс  описывает моменты возникновения заявок со стороны потребителей). Положим 

(величина s(t) показывает накопленный спрос за время t). Пусть R < 0 и R + Q > 0 – произвольные числа (уровни, упоминаемые в названии модели). Пусть
, 
где квадратными скобками обозначена целая часть числа. Здесь y(t) – уровень запаса продукта на складе. Предполагается, что продукт отпускается в соответствии с заявками потребителей. Когда уровень запаса на складе опускается до граничного значения R < 0, мгновенно поступает новая партия продукта величиной Q. Если уровень запаса на складе при удовлетворении очередной заявки становится меньше 0, но остается больше R < 0, то фиксируется образование дефицита. Рассматриваемая заявка (точнее, ее необслуженная часть) и возникающие в следующие моменты заявки накапливаются вплоть до того момента, когда суммарный дефицит достигнет граничного уровня R, а затем мгновенно удовлетворяются после прихода очередной поставки величиной Q. Таким образом,
R < y(t) < R + Q
при всех t. 
	Пусть c1, c2, c3 – положительные константы, T > 0. Введем функционал
,
где y+ = max(y,0) и y- = y+ - y. Требуется минимизировать M(w(T)), выбрав соответствующие R и Q.
	В логистических терминах c1 - расходы, связанные с хранением единицы продукта в течение единицы времени, c2 – потери, порожденные дефицитом (отсутствием на складе) единицы продукции в течение единицы времени, c3 – расходы на доставку партии продукта на склад, w(T) – средние (на единицу времени) издержки на функционирование склада (точнее, складской подсистемы, связанной со снабжением потребителей рассматриваемым продуктом). Сформулированная модель рассматривалась рядом авторов при различных предположениях (см. обзор в [5, гл.5]). У них же можно найти экономическую интерпретацию и развернутое обсуждение рассматриваемых математических объектов и констант (см. также разд. 8.3). 
	Будем изучать асимптотику при . Сначала найдем предельное распределение y(t).
	Теорема 4. Пусть случайная величина  имеет первые пять моментов и интегрируемую характеристическую функцию, при некотором С

при всех t > 0. Тогда существует константа D такая, что 

при всех y, t таких, что R < y < R + Q и t > 0.
	Доказательство. Нетрудно показать, что 
.		(13.54)
Нам окажется полезным вытекающее из (13.54) представление
,		(13.55)
где
.
При k > 1 положим 
.
Тогда 
.
Начнем с оценки A(k, y).
	Лемма 3. В условиях теоремы 4 существует константа d1 такая, что при всех y таких, что R < y < R + Q и k = 1, 2, …, выполнено неравенство
.
	Доказательство. Пусть fk(x) – плотность случайной величины Tk, существующая в силу условий теоремы 4. Из них же в соответствии с теорией асимптотических разложений, связанных с Центральной предельной теоремой теории вероятностей, конкретнее, в соответствии с теоремой 2 из монографии В. Феллера [10, с.609-611] вытекает, что 
		(13.56)
равномерно по x. Здесь
,	(13.57)
где  - плотность стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1,  и  - константы, зависящие от моментов случайной величины .
	Для A(k, y) справедливо представление 
,		(13.58)
где
.	(13.59)
К первому слагаемому в (13.58) применим лемму 2, второе слагаемое оценим с помощью (13.56).
	Пусть m – такое целое число, что a(m) < 0, но a(m+1) > 0. Легко проверить, что для функции f(x) = gk(x – a(m)) выполнены все условия леммы 2. Полагая (слева - обозначения леммы 2, справа – обозначения из (13.59))
,
заключаем, что при некоторой константе d2, зависящей, как видно из (13.57) и (13.59), лишь от Q и моментов , и произвольном k
.		(13.60)
Отметим теперь, что 
,
где
.
Из (13.57) нетрудно вывести, что
.		(13.61)
Из (13.60) и (13.61) следует оценка
.		(13.62)
	Займемся теперь второй суммой в (13.58). Положим
.
Тогда в силу (13.56)
.	(13.63)
Справедливо неравенство
,	(13.64)
где . Первый интеграл в правой части (13.64) равен . С помощью неравенства Чебышева и (13.59) заключаем, что 
.		(13.65)
Из явного вида gk(x), по аналогии с (13.61), заключаем, что второй интеграл в правой части (13.64) также есть . Из (13.63), (13.64), (13.65) и последнего утверждения следует, что 
.		(13.66)
Из (13.62) и (13.66) вытекает заключение леммы 3, поскольку, как нетрудно проверить, просматривая проведенные выше рассуждения, все оценки являются равномерными по y. Лемма 3 полностью доказана.  
	Продолжение доказательства теоремы 4. Из (13.55) и заключения леммы 3 следует, что 
,
где  Поскольку
,
то заключение теоремы 4 справедливо при D = 2d1 + C. Теорема 4 доказана.
	Теорема 5. В условиях теоремы 4 и при  имеем для минимизируемого функционала
,
где
,	(13.67)
причем существуют константы d3 и d4 такие, что 
.			(13.68)
	Доказательство. Поскольку накопленный спрос есть сумма случайного числа случайных слагаемых, то по тождеству Вальда . Следовательно, для математического ожидания третьего слагаемого средних издержек w(T) имеем 
,	(13.69)
где
.		(13.70)
	При изучении математического ожидания первого слагаемого средних издержек w(T) полезно проинтегрировать по частям:
.	(13.71)
Из (13.71) и заключения теоремы 4 следует, что 
,		(13.72)
где 
.		(13.73)
	Аналогично получаем асимптотическое выражение для математического ожидания второго слагаемого в формуле для w(T): 
,		(13.74)
где 
.		(13.75)
	Из (13.69) – (13.75) следует утверждение теоремы 5, при этом можно считать, что в (13.68)
.	(13.76)
Теорема 5 доказана.
	Нетрудно показать, что H(R,Q) из теоремы 5 (см. (13.67)) достигает минимума по области {(R, Q): Q > 0} в точке (R0, Q0), где
. 	(13.77)
	Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 5 и, кроме того,
.		(13.78)
Предположим, что минимум M(w(T)) достигается, причем в точке (RT, QT). Тогда существует константа d5 такая, что при всех T
.
	Доказательство. Нетрудно показать, что в силу (13.78) минимум M(w(T)) не может достигаться вне некоторого компакта. Далее, анализируя доказательства теорем 4 и 5, можно убедиться, что полученные в них оценки являются равномерными по произвольному компакту в области {(R, Q): Q > 0}. Поскольку 
,
то (RT, QT) лежит в области . Эта область является эллипсом, и, как легко видеть,
.		(13.79)
Из (13.68), (13.76) и (13.79) следует требуемое. Теорема 6 доказана.
	Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 6 и, кроме того, 
.		(13.80)
Тогда 

и
,
где величину M(w(T, RT, QT)) рассчитывают по формулам для математического ожидания средних издержек работы склада M(w(T)) при параметрах плана поставок R = RT, Q = QT, а величину M(w(T, R0, Q0)) – по тем же формулам при R = R0, Q = Q0.
	Таким образом, следствие указывает условия, при которых при большом горизонте планирования T возможно использовать асимптотически оптимальный план поставок с параметрами R = R0, Q = Q0, заданными формулами (13.77).
	Отметим, что для справедливости соотношения (13.80) необходимо и достаточно, чтобы 
,
но недостаточно выполнения условия
.
	В ряде работ рассматривался пуассоновский поток  заявок от потребителей. Тогда накопленный спрос s(t) асимптотически (при ) нормален. В этих работах предлагалось вероятности в правой части (13.54) заменить на предельные и полученным рядом аппроксимировать функцию распределения P(y(t) < y) при больших t. Чтобы сделать расчеты возможными, т.е. из эвристических побуждений, функция Лапласа в этом ряду заменялась на ступенчатую функцию с единственным скачком в 0 единичной высоты. С помощью результатов настоящего раздела нетрудно подсчитать, что такая замена приводит к появлению лишних членов в аналогичном H(R, Q) выражении. Таким образом, мы отказались от предположения пуассоновости, которое редко выполняется на практике, и получили в общем случае достаточно простые формулы, попутно исправив ошибки предшественников. 
	Отказ от пуассоновости спроса впервые осуществлен нами в 1977 г. Дальнейшая работа проводилась совместно с А.В. Воскресенским. Настоящее изложение соответствует работе [5], в которой предшествующие результаты были усилены. 
	Классическая модель Вильсона управления запасами разобрана в разделе 8.3. Там показано: квантование используемых экономических показателей позволяет исключить расхождение между собой методик, разработанных различными коллективами специалистов, но при этом обеспечивает сокращение издержек складского хозяйства не менее чем в 2 раза.  

13.4. Социометрическое исследование – инструмент менеджера

	В любой фирме, на любом предприятии в дополнение к официальным организационным структурам создаются неформальные, основанные на отношениях между людьми. Менеджеру необходимо учитывать с своей работе неформальные связи. Выявить их можно с помощью социометрии.
	Социометрическая техника применяется для диагностики межличностных и межгрупповых отношений в целях их изменения, улучшения и совершенствования. С помощью социометрии можно изучать типологию социального поведения людей в условиях групповой деятельности, судить о социально-психологической совместимости членов конкретных групп.
	Вместе с официальной или формальной структурой общения, отражающей рациональную, нормативную, обязательную сторону человеческих взаимоотношений, в любой социальной группе всегда имеется психологическая структура неофициального или неформального порядка, формирующаяся как система межличностных отношений, симпатий и антипатий. Особенности такой структуры во многом зависят от ценностных ориентаций участников, их восприятия и понимания друг друга, взаимооценок и самооценок. Неформальная структура группы зависит от формальной структуры в той степени, в которой индивиды подчиняют свое поведение целям и задачам совместной деятельности, правилам ролевого взаимодействия. С помощью социометрии можно оценить это влияние.
	Общая схема действий при социометрическом исследовании заключается в следующем. После постановки задач исследования и выбора объектов измерений формулируются основные гипотезы и положения, касающиеся возможных критериев опроса членов групп. Здесь не может быть полной анонимности, иначе социометрия окажется малоэффективной. Требования экспериментатора раскрыть свои симпатии нередко вызывает внутренние затруднения у опрашиваемых и проявляется у некоторых людей в нежелании участвовать в опросе. Поэтому для проведения социометрического исследования целесообразно привлекать постороннюю специализированную организацию
	Когда вопросы или критерии социометрии выбраны, они заносятся на специальную карточку или предлагаются в устном виде по типу интервью. Каждый член группы отвечает на них, выбирая тех или иных членов группы в зависимости от большей склонности, предпочтительности их по сравнению с другими, симпатий, доверия и т.д.
	Социометрическая процедура может проводиться в двух формах. Первый вариант - непараметрическая процедура. В данном случае испытуемому предлагается ответить на вопросы социометрической карточки без ограничения выборов испытуемого. Второй вариант - параметрическая процедура с ограничением числа выборов. Испытуемым предлагают выбрать строго фиксированное число из всех членов группы. Социометрическая карточка или социометрическая анкета составляется на заключительном этапе разработки программы. В ней каждый член группы должен указать свое отношение к другим членам группы по выделенным критериям. Критерии определяются в зависимости от программы данного исследования. Когда социометрические карточки заполнены и собраны, начинается этап их математической обработки.
	Вначале следует построить простейшую социоматрицу взаимных выборов. Анализ социоматрицы по каждому критерию дает достаточно наглядную картину взаимоотношений в группе. Могут быть построены суммарные социоматрицы, дающие картину выборов по нескольким критериям. Основное достоинство социоматрицы - возможность представить выборы в числовом виде. Проведение опроса и представление первичной информации является предварительным этапом для дальнейшего анализа социометрических данных. 
	Рассмотрим применение социометрической технологии на примере изучения неформальных соотношений в студенческой группе. Прикладная значимость работы определялась тем, что из студентов этой группы были сформированы две подрядные бригады, выполнявшие задания Института высоких статистических технологий и эконометрики по изучению динамики потребительских цен (см. раздел 6.6 выше).
	Респондентам были заданы вопросы (они предлагались в устной форме, без ограничения числа выборов):
	1. У кого вы берете конспекты лекций?
	2. С кем вы сидите на семинаре? 
	3. С кем вы советуетесь при выполнении контрольных работ, курсовых работ и т.п.? 
	4. С кем вы часто разговариваете по телефону?
	5. У кого вы узнаете об учебной информации: об изменениях в расписании, о собрании группы и т.п.? 
	6. С кем вы больше всего общаетесь: а) во время занятий; б) вне института;
	7. С кем вы обычно ходите обедать? 
	8. Если вы что-то не поняли на семинаре, то у кого просите объяснение? 
	9. Если бы вся ваша группа была членами одной фирмы, и перед вами встала задача выбрать руководителя, то кого бы вы предложили на эту должность? 
	10. Если бы у всех ваших одногруппников были свои фирмы, а у вас нет, то к кому из них вы пошли бы работать? 
	11. Если бы вы все были членами одной фирмы, как вы думаете, кого группа выбрала бы президентом? 
	12. У кого из вашей группы есть, по вашему мнению, талант руководителя (организатора)? 
	13. После окончания института, при устройстве на работу вы узнаете, что там уже работает ваш одногруппник. Кого вы хотели бы увидеть?
	13-1) проранжируйте всех своих одногруппников от 1 до 22 (от самого привлекательного до самого антипатичного); 
	13-2) напротив каждой фамилии укажите одну из букв а, б, в, г, д:
	а) очень хотел бы увидеть; б) скорее «да», чем «нет»; в) трудно сказать; г) скорее «нет», чем «да»; д) не хотел бы увидеть.
	Социометрические вопросы разбиты на три группы: первая группа (условное название «информационная»): сюда входят 1, 3, 5, 8 вопросы; вторая группа («неформальная»): 2, 4, 6а, 6б, 7 вопросы; третья группа («трудовая»): 9 - 13 вопросы.
	Социометрический опрос позволяет выявить неформальных лидеров в коллективе. Именно с ними менеджеру следует работать в первую очередь, проводя то или иное изменение. С точки зрения социометрии неформальный лидер - это человек, которого выбирает большинство респондентов.
	На основании полученных для конкретной студенческой группы результатов были сделаны следующие выводы:
	1. В исследуемой группе есть два крупных четко выраженных кластера (подгруппы) и ряд мелких.
	2. Первая бригада построена по принципу взаимной заинтересованности в совместной работе. Вторая бригада построена по принципу антипатии к руководителю первой бригады и внутри группы - кто с кем хотел бы работать.
	3. В группе два социометрического лидера. Оба в первой бригаде. Одна из них – староста группы (т.е. формальный лидер).
	4. Руководители бригад не являются социометрическими лидерами. 
	5. Если заменить формального лидера (условный номер 18 в списке респондентов) на одного из неформальных (условные номера 4 и 9), то получим следующие результаты. При замене 18 на 4 состав бригады не изменится, принцип объединения в группу остается прежним, количество прямых связей увеличивается (следовательно, такая замена была бы возможной с целью улучшения работы бригады). Если же заменить 18 на 9, то состав бригады изменится.
	Дальнейшее развитие событий подтвердило результаты, полученные с помощью социометрического опроса. Через некоторое время коллектив первой бригады потребовал смены бригадира, новым стал социометрический лидер 4. Бригада продолжала работать в прежнем составе. При создании второй бригады в ней объединились студенты, стоявшие в оппозиции к основной части группы. Это диссидентство (инакомыслие) в дальнейшем породило трудности в управлении бригадой. Социометрический опрос принес вполне ощутимую пользу менеджерам Института высоких статистических технологий и эконометрики.
	Методики социометрии - это синтез выборочных исследований и экспертных оценок. Обратите внимание, что ответы членов малой группы являются нечисловыми данными – подмножествами конечного множества, ранжировками, градациями признака, измеренного в порядковой шкале.

13.5. Статистические методы в выборочных исследованиях
научных организаций

	Процессы, происходящие в отечественной науке, требуют новых подходов как к методам сбора данных о состоянии науки (инфраструктура, кадры, финансирование, материально-техническая база, результативность и т.д.), так и к методам анализа полученных данных. Разработка новых подходов проводится Институтом высоких статистических технологий и эконометрики совместно с Центром исследований и статистики науки (ЦИСН) Миннауки РФ и РАН [11]. За 90-е гг. ЦИСН разработан ряд новых форм статистической отчетности, утвержденных государственными статистическими органами, им проведено несколько специальных обследований (бюджетное финансирование науки, уровень жизни ученых, утечка умов - совместно с МВД РФ, деятельность аспирантуры и др.).
	В качестве иллюстрации процессов, происходящих в те годы в науке России, можно привести несколько чисел из статистического сборника, изданного ЦИСН: с 1990 по 1993 гг. численность работников основной деятельности научных организаций сократилась на 40%, расходы на НИР (в ценах 1989 г.) - на 75%, при этом, если в 1990 г. расходы на НИР составляли 2,03% ВВП (валового внутреннего продукта), то в 1993 г. – только 0,81%.
	Сохранению потенциала российской науки уделяется большое внимание международной научной общественностью, международными организациями, в частности, Организацией экономического сотрудничества и развития, и научной общественностью отдельных стран. По некоторым оценкам зарубежная помощь российским ученым в 1992 г. составила около 8% от объема государственных расходов на науку в России.
	Кризис российской науки оживленно обсуждается и на страницах отечественных газет и журналов. Так, в №1 за 1993 г. международной газеты «Наука и технология в России» проведена дискуссия об эффективности научной деятельности и положении научных работников в современной России, глубоко и по существу использующая результаты социологических исследований.
	При обсуждении разнообразных задач изучения и управления наукой весьма важны исходные методологические принципы. Показательна упомянутая дискуссия, в которой один из авторов в качестве основного показателя использовал производительность труда научного работника, а другой - фондоемкость научной продукции, что явно затрудняло взаимопонимание. Характерно, что в обеих статьях широко использовались как статистические, так и экспертные данные. Поэтому бесспорным представляется вывод о том, что статистические данные о научном потенциале - база для теоретического и прикладного науковедения.
	Основой для проведения анализа научного потенциала России является информационная база данных по российским организациям, выполняющим научно-исследовательские работы, сформированная в Центре исследований и статистики науки Миннауки РФ и РАН. Она основана на использовании совокупности независимых баз данных как справочного, так и информационного характера и включает около 250 показателей научно-технической деятельности предприятия (организации). Благодаря подробной справочной информации, все объекты могут быть классифицированы по регионам, типам организации, ведомственной принадлежности, областям наук, формам собственности, секторам деятельности. Единицей учета является отдельный документ «Отчет предприятия (организации) о выполнении научно-технических работ» - статистическая форма «1-Наука».
	В числе показателей формы присутствуют как количественные, так и качественные. К качественным показателям, имеющим нечисловую природу, относятся:
	- область науки;
	- сектор науки;
	- отрасль народного хозяйства;
	- территория;
	- министерская (ведомственная) принадлежность;
	- организационно-правовая форма;
	- форма собственности;
	- тип организации (предприятия);
	- сектор деятельности.
	Среди количественных показателей можно выделить данные об объемах выполненных исследований (фундаментальных, прикладных разработок), затратах на НИР, объемах основных средств, количестве персонала различных категорий и др.
	База для применения методов статистики нечисловых данных в наукометрии значительно расширилась с началом проведения регулярных статистических обследований по форме «2-наука», которая, в отличие от формы «1-наука», предусматривает возможность группировок данных по социально-экономическим целям исследований и разработок (в соответствии с международными стандартами), что расширяет возможности как для построения принципиально новых моделей, так и для проведения более качественных межстрановых сопоставлений. Была введена также краткая ежеквартальная форма статистической отчетности, позволяющая накапливать ряды данных и строить на их основе прогнозные модели. Впервые в стране с 1995 г. начался сбор данных по инновационной деятельности, что позволяет увязывать данные о развитии науки с разработкой и внедрением технологий и более точно оценивать результативность науки.
	С начала 70-х гг. в России активно развивается статистика объектов нечисловой природы, известная также как статистика нечисловых данных или нечисловая статистика. На основе подходов и результатов статистики объектов нечисловой природы разрабатывается методическое, математическое и программное обеспечение для социологических, маркетинговых, экспертных, прогнозных и других исследований. В разработке этого сравнительно нового направления статистических методов приоритет принадлежит отечественным ученым.
	Показатели науки могут быть использованы для применения достижений статистики нечисловых данных на практике. Более того, представляется, что при анализе столь важной с практической точки зрения информации, как данные о научном потенциале, именно методы статистики нечисловых данных окажутся наиболее полезными, поскольку существенная часть данных носит нечисловой (в частности, качественный) характер.
	Примерами объектов нечисловой природы являются: качественные признаки, например, пол человека или тип научной организации, вообще результат отнесения объекта в одну из заданных категорий (градаций); множество, например, совокупность научных организаций, занимающихся определенной тематикой; слово, предложение, текст, которые в памяти компьютера кодируются, как известно, с помощью цифр 0 и 1, но числами от этого не становятся; вектор, координаты которого - совокупность значений разнотипных признаков, например, результат составления статистического отчета о научно-технической деятельности (например, форма «1-наука»), в котором часть признаков носит качественный характер, а часть - количественный; ответы на вопросы социологической анкеты, часть из которых носит количественный характер (возможно, интервальный, т.е. респондент свое мнение выражает не числом, а интервалом), часть сводится к выбору одной из нескольких подсказок, а часть представляет собой тексты; упорядочение экспертом заявок на проведение научных работ при проведении конкурсов на выделение грантов; результаты контроля выполнения заданий по научно-техническим программам, вообще планов научных работ, по альтернативному признаку (выполнена или не выполнена конкретная позиция плана); разбиения объектов на группы сходных между собой (кластеры); ранжировки, например, упорядочения экспертами научных проектов по степени предпочтения (на одной из стадий процесса распределения грантов); толерантности, т.е. бинарные отношения, описывающие сходство объектов между собой, например, сходство тематики научных работ, оцениваемого экспертами с целью рационального формирования экспертных советов внутри определенной области науки; результаты парных сравнений и т.д. Интервальные данные тоже можно рассматривать как пример объектов нечисловой природы.
	На развитие статистики нечисловых данных большое стимулирующее влияние оказывают запросы прикладных исследований, прежде всего в социально-экономической области. Так, многолетний (с 1970 г.) опыт проведения социологических и маркетинговых исследований, а в последнее время - анализа и прогнозирования потребительских цен и индекса инфляции, исследований рынка товаров народного потребления, образовательных услуг, программного обеспечения - привел к постановкам ряда нерешенных задач в области статистических методов анализа и прогнозирования на основе нечисловых данных.
	Однако приходится с сожалением констатировать, что ряд теоретических разработок пока не доведен до уровня методик, математического и программного обеспечения. Этим мы занимались в рамках работы по алгоритмизации и применению основных идей, подходов и методов рассматриваемого научного направления для анализа статистических данных о научных организациях России. На основе современных представлений о проведении социологических исследований и о методах анализа собранных данных разрабатывались соответствующие статистические методы, математическое и программное обеспечение. Поскольку нечисловые данные составляют до 90% данных в социологии и большую часть - в экономике, то теоретические исследования в статистике нечисловых данных позволяют получать новые результаты в той центральной области эконометрики, в которой отечественные работы имеют приоритет на мировом уровне.
	Для анализа данных о научных организациях России, об их научном потенциале весьма важны методы классификации, в том числе типологии. Проблемами теории и практики классификации в нашей стране занимались многие научные работники. С 1984 г. в рамках Союза научных и инженерных обществ действует «Комиссия по классификации», объединившая усилия нескольких десятков специалистов различных научных областей. Итоги более чем двадцатипятилетней работы нашей комиссии показали, в частности, что наиболее естественно ставить и решать задачи классификации в рамках статистики объектов нечисловой природы. Это касается как распознавания образов с учителем (дискриминантного анализа), так и распознавания образов без учителя (кластерного анализа). 
	Примеры возможных применений современных статистических методов анализа выборочных данных в задачах изучения и управления научным потенциалом. В силу целого ряда причин (высокая динамика изменений, потребность в оперативной информации для принятия решений и т.д.) возникает острая необходимость регулярного проведения оперативных обследований научных организаций и социологических опросов ученых. Эта задача может быть успешно решена только путем проведения выборочных обследований [11]. Обсудим примеры возможных применений современных статистических методов анализа выборочных данных в задачах изучения и управления научным потенциалом.
	1. Изучение показателей научной деятельности, в частности, изучение предпочтений научных работников, руководителей научных организаций и профессионалов-управленцев, экспертно-статистический подход к построению интегральных показателей (рейтингов).
	Статистический и экспертный анализ показателей науки, выявление их рейтинга (какие показатели являются наиболее значимыми с учетом общепринятых международных стандартов в статистике науки).
	Как оценивать эффективность науки? В какой мере общепринятые показатели результативности науки (публикации, патенты, лицензии, индексы цитируемости и т.д.) отражают реальную эффективность науки?
	2. Кластеризация научных организаций, выделение типов. При обсуждении вопросов финансирования, организационных преобразований, перспективного развития необходимо к различным типам научных организаций подходить дифференцированно. Насколько принятая типология научных организаций соответствует тем или иным аналитическим задачам? Сколько типов существует реально? Какова естественная типология научных организаций? Если такая типология излишне сложна, не удастся ли ее упростить, рассматривая научные организации с определенных практических позиций - с точки зрения научного уровня, отдачи, финансирования, перспективности и выживания и т.д.
	Представляет также интерес структура научных советов, комиссий и других форм деятельности ученых, особенно в ситуации, когда через такие структуры идет финансирование.
	3. Рейтинги проектов, научных организаций и др. В рамках достаточно однородной совокупности проектов НИР, заявок на гранты, научных организаций и т.д. с помощью методов многомерного статистического анализа можно выявить основные направления вариации. Однако главный фактор, вопреки распространенному способу интерпретации результатов факторного анализа (или метода главных компонент), не всегда соответствует оси «эффективность - неэффективность». Тем не менее, идея рейтинга (интегрального показателя качества) заслуживает проработки. Можно указать несколько подходов. Для решения этой задачи можно использовать три варианта экспертно-статистического метода интегральной оценки перспективности научного направления или научной организации: 
	по интегральному показателю (линейная функция, параметры которой - показатели науки, а значения коэффициентов получаются от экспертов);
	по обучающим выборкам, полученным от квалифицированных экспертов;
	с помощью оценки параметров интегрального показателя по обучающим выборкам (собственно экспертно-статистический метод).
	4. Расчет и краткосрочное прогнозирование показателей науки. Важнейшее значение для принятия управленческих решений в сфере науки имеет прогнозирование таких показателей как занятость, средняя зарплата в секторе «Наука и научное обслуживание» и др., особенно с учетом эффекта изменения макроэкономических показателей (в частности, индекса инфляции, курсов доллара, евро и других валют) и влияния тех или иных мер (экономических, законодательных, налоговых, таможенных и т.д.), предпринимаемых на государственном уровне.
	5. Применение современных статистических методов анализа нечисловых и интервальных данных. Использование статистики объектов нечисловой природы в выборочных обследованиях дает возможность реализовать идеи, изложенные в упомянутом выше сборнике [6]. В частности, регрессионный анализ в пространствах разнотипных признаков (объектов нечисловой природы) даст возможность оценить эффективность финансирования, а статистика интервальных данных позволит учесть неизбежные неточности в имеющихся данных.
	6. Анализ существующей системы приоритетов отечественной науки с точки зрения объемов базового финансирования отдельных институтов, структуры государственных научно-технических программ, системы бюджетных и внебюджетных фондов, проведения экспертных опросов ведущих ученых и специалистов. Выявление наиболее перспективных направлений развития российской науки, выделение приоритетных технологий, сопоставление научно-технического развития России и развитых стран.
	7. Оценка основных тенденций развития научной сферы за последние годы (изменение структуры сети научных организаций по ведомственному признаку, численности, эффективности функционирования, направлениям исследований и т.д.). Выявление закономерностей между основными количественными и качественными показателями развития науки и базовыми макроэкономическими показателями с последующим моделированием процессов, происходящих в сфере науки, в их взаимосвязи с инновационными процессами в экономике и социальной сфере.
	8. Выделение «групп риска». Частный случай обсуждаемых выше задач - выделение (по формальным - отчетным - признакам) научных организаций, само существование которых оказывается под вопросом в ближайшем будущем.
	Прогноз «выживаемости» НИИ может быть построен с помощью обучающих выборок на основе непараметрических оценок плотности в пространстве разнотипных признаков, часть координат которых - количественные признаки, а часть - качественные.
	Существует много других интересных проблем. Например, выявление цикличности развития научно-технического потенциала страны, изучение динамики реальной и формальной структуры науки, форм примитивизации научной деятельности и научной продукции в условиях резкого спада производства и сокращения финансирования научного труда, проблемы отражения в общественном сознании и в самосознании научного сообщества специфики научной деятельности (включая анализ распространенных догм) и др.
	Применение современных статистических методов в выборочных исследованиях научных организаций позволяет получать результаты, интересные с теоретической точки зрения и полезные для практики управляющих воздействий на развитие российской науки. 

13.6. Статистические методы в изучении
способных к математике школьников

	Автор много лет работал в Вечерней математической школе (ВМШ) при Московском математическом обществе, в 1969-1977 гг. был ее директором. Статистические методы использовались нами как для решения задач управления образовательным учреждением, так и для изучения способных к математике школьников с целью повышения эффективности процесса обучения.
	ВМШ создана в 1963 г. профессором Е.Б. Дынкиным как дальнейшее развитие системы математических кружков при МГУ им. М.В. Ломоносова. Ее цель - способствовать математическому развитию школьников, расширять их математический кругозор. Вначале основную массу составляли учащиеся 8-10 классов, а затем, с развитием системы дневных физико-математических школ, - учащиеся 5-8 классов. Численность учеников ВМШ колебалась в разные годы от 300 до 1400 (1971 г.). Общая информация о ВМШ приведена в сборниках серии «Математическая школа. Лекции и задачи» (издательство МГУ им. М.В. Ломоносова, 1965 – 68, выпуски I – XIV, доступны в Интернете: http://ilib.mccme.ru/djvu/msch/index.html) и в работе [2]. ВМШ мы рассматривали как полигон для отработки нового содержания и новых форм внеклассной работы по математике в средних классах общеобразовательной школы. Необходимо было подготовить тексты занятий ВМШ и задач, предлагаемых школьникам, а также отработать письменные формулировки и стиль изложения. Для этого в журнале «Пионер» (тираж – 1,5 млн. экземпляров) организован отдел «Встречи с тремя Неизвестными» (имеются в виду постоянные персонажи отдела Икс, Игрек и Зет). В этом отделе только автором настоящего учебника с 1970 г. по 1977 г. было опубликовано 48 статей и заметок. Ряд материалов помещен в журнале «Квант». В отличие от «Пионера», этот журнал имеется в Интернете (http://kvant.mccme.ru/). 
	На основе разработок ВМШ по заказу Академии педагогических наук СССР составлено пособие для учителей «Внеклассная работа по математике в 6-8 классах» [12]. Оно выпущено издательством «Просвещение» в 1977 и 1984 гг. общим тиражом 0,5 млн. экз. Книга переведена на молдавский, литовский, казахский, таджикский, болгарский языки. Опыт ВМШ широко используется; созданное на его основе пособие есть практически в каждой школе. И не только в России. 
	Особое внимание уделялось внедрению в преподавание различных разделов прикладной математики. Так, впервые адаптирована для учащихся средней школы модель Вильсона теории управления запасами (см. раздел 8.3 выше). Изложение основ теории вероятностей и математической статистики начиналось с постановки задачи о проверке статистической гипотезы о том, что для дефектных изделий в партии составляет 23% (см. главу 10 выше).
	Для повышения эффективности деятельности ВМШ признано полезным ее осмысление с научных позиций. Для этого в составе ВМШ был создан научно-исследовательский сектор, деятельность которого развивалась по двум направлениям – анкетные обследования школьников и разработка математических моделей отдельных сторон обучения математике. Некоторые итоговые результаты работ в первом направлении рассматриваются ниже и освещены в [2]. Во втором направлении разработаны две модели – оптимального распределения времени между активным (решение задач) и пассивным (слушание лекций, чтение литературы) усвоением материала [13, разд. 3.5.4] и расчета оптимального числа преподавателей.
	Анкетные обследования мы рассматривали как способ методами социологии получить представление о социально-психологических характеристиках больших совокупностей способных к математике школьников. Первое анкетирование учеников ВМШ было проведено в 1970 г. Получено около 1000 анкет. В их обработке участвовали А.Н. Аверкин и другие сотрудники ВМШ. Ряд результатов приведен в [2].  
	В частности, изучались маркетинговые коммуникации образовательных услуг, оказываемых ВМШ. Распространение и информации о наборе в ВМШ было организовано так.
	1. Учащиеся связанных с ВМШ средних школ (т.е. школ, в которые обычно переходили ученики ВМШ в конце учебного цикла) получали по два объявления о начале занятий ВМШ. Одно из объявлений предлагалось вывесить в прежней школе (где учился до перехода в математическую школу), а второе – отдать родителям для информирования их коллег по работе. Так распространялось до 1000 объявлений. 
	2. Помещались заметки в печати (журналы «Пионер», «Квант», газеты).
	3. Делались объявления на городских и районных собраниях учителей.
	В ноябре 1970 г. все ученики ВМШ отвечал на анкету, где был и вопрос: «Откуда узнал о ВМШ?» Результаты обработки ответов на этот вопрос приведены в табл. 13.1.
	Обращает на себя внимание малое число узнавших о ВМШ из объявлений. Создается впечатление, что объявления как средство распространения информации не играют большой роли, от них можно отказаться. Однако более глубокий анализ показывает, что подобное заключение – неверное. Дело в том, что объявления распространяют учащиеся дневных школ, связанных с ВМШ, тем самым они (учащиеся) являются носителями информации о начале работы ВМШ. Эту информацию они передают знакомым школьникам и учителям, а также родителям. Мы видим, что информация, дошедшая до многих будущих учеников ВМШ через знакомых, родителей, учителей, имела своим источником объявления, отказ от которых, таким образом, не оправдан.

Таблица 13.1
Ответы на вопрос: «Откуда узнал о ВМШ?»
Откуда узнал о ВМШ	Из печати 	От знакомых, одноклассников, друзей	От родителей и родственников	
Класс	5-6	7	8	5-6	7	8	5-6	7	8	
% ответов	30	29	27	28	33	45	28	15	7	
Откуда узнал	От учителя	Из объявления	Прочие ответы	
Класс	5-6	7	8	5-6	7	8	5-6	7	8	
% ответов	10	12	12	2	4	3	2	7	6	

	Результаты анкетного обследования были использованы руководством ВМШ при планировании работы. Так, анкета показала, что учителя и почтовые объявления играют сравнительно малую роль как источники информации о ВМШ, в отличие от  публикаций в печати и устной информации [2]. В частности, рассылка объявлений по школам с помощью почты была признана неэффективной, поскольку, как показала проверка, при этом информация обычно не доходит до учеников. Поэтому мы практически отказались от обращений к учителям и рассылки объявлений по почте, а силы сосредоточили на публикациях в журналах и газетах, на «командировании учащихся физико-математических школ в «родные» им школы для распространения информации о ВМШ.
	В 1972 г. 150 победителям третьей Олимпиады жунала «Пионер» разосланы анкеты. Возвращенные 50 анкет были обработаны Д.А. Модель и нами. Результаты частично опубликованы, в частности, в [2]. Результаты этого обследования имели большое значение для организации работы отдела «Встречи с тремя Неизвестными» журнала «Пионер». Например, выявлено явное предпочтение (со стороны читателей) задач последовательному изложению материала. А среди задач – алгоритмическим, а не «на доказательство». Подтверждено положительное отношение к занимательности формулировок и т.д. (см. [2]). Обнаруженные предпочтения школьников - потребителей образовательных услуг были учтены и при составлении упомянутого выше пособия по внеклассной работ [12]. Полученные в результате анкетного обследования результаты были, в частности, использованы в дискуссиях с членами редакционно-издательского совета министерства просвещения СССР.
	В 1975 г. совместно с НИИ общей и педагогической психологии (НИИ ОиПП) Академии педагогических наук СССР проведено углубленное анкетирование учеников ВМШ. В соответствии с планом исследования анкет всех видов было получено около 400. Со стороны НИИ ОиПП руководителями работы являлись докт. псих. наук Н.С. Лейтес и канд. псих. наук И.В. Дубровина. Рабочая группа со стороны ВМШ действовала под нашим руководством и включала в себя Г.А. Гусейнова, Д.А. Модель, С.Д. Ошанина, В.Б. Шехтмана, М.П. Шпильрейна. Анкеты и результаты обработки переданы в НИИ ОиПП. Ниже рассматриваем лишь один из результатов обработки данных, представляющий методический интерес с точки зрения статистических методов.
	По решению Правления ВМШ от 19 октября 1975 г. учащиеся ВМШ заполнили анкеты из двух частей – «для заполнения на занятиях» (30 вопросов) и «для заполнения дома» (38 вопросов). Ряд вопросов состоял из нескольких подвопросов. Ответы на некоторые из вопросов давались в свободной форме и не подлежали количественной обработке. Руководители групп ВМШ заполнили карты на каждого ученика своих групп. В карте – 22 вопроса. В результате на каждого ученика заполнено 3 документа общим объемом 10 машинописных страниц. Такой большой объем информации на каждого ученика был продиктован интересами специалистов по педагогической психологии. 
	Представлялось целесообразным использовать результаты опросов для построения типологии способных к математике школьников с учетом их социально-психологических свойств. Предполагалось, что для каждого типа будет построена своя оптимальная система обучения. Так, при анализе анкет победителей олимпиады журнала «Пионер» (см. выше) установлено, что одним больше нравятся те области математики, в которых «задачи легче получаются», другим – те, где «задачи самые трудные». Видимо, оптимальные системы обучения для этих двух типов учащихся различаются.
	Естественно предположить, что требуемую типологию можно получить с помощью кластер-анализа ответов школьников на вопросы некоторой «анкеты» (кроме анкеты в обычном смысле, могут применяться описанные выше «карты» и специальные тесты). Построение типологий с помощью традиционных методов рассмотрено ВА. Крутецким, Н.С. Лейтесом и др. Прообразом подобной анкеты является та, что применялась в описываемом исследовании. 
	При формировании групп для обучения по разным оптимальным программам отнесение школьника к определенному типу будет происходить по ответам на анкету. Поэтому желательно иметь анкету с возможно меньшим числом вопросов (считая, что вопросы примерно равноценны по трудоемкости, по затратам на получение ответов). Добиться этого можно, оставив по одному из каждой группы вопросов, ответы на которые близки, т.е. из каждого кластера, выделенного при решении задач кластер-анализа вопросов.
	Для «пилотажного» исследования в рамках намеченной программы были выбраны 10 вопросов. Ответы на каждый из них – результаты измерений в шкале наименований (в терминологии теории измерений – см. разд. 11.3 выше). Перейдем к общей терминологии: вопрос – это признак, ответ на вопрос – это значение признака. Некоторым вопросам изначально соответствовали количественные признаки. Переход к номинальным признакам делался путем введения градаций (см. ниже) с целью повышения устойчивости ответов, интерпретируемости, а также возможности применения соответствующего математического аппарата. Всего выделено 80 градаций. 
	Анализировались ответы на следующие вопросы.
	1. Единственный ребенок или нет.
	2. Среднее время, затрачиваемое в день на выполнение домашних заданий (градации: до 0,5 часа; 0,5 – 1 час; 1 – 1,5 часа; и т.д.).
	3. Любимый предмет в школе.
	4. Интересующая область знания.
	5. Чем занимается в свободное время (градации: искусством; спортом; наукой и техникой; спортом и искусством; прогулками; и т.п.).
	6. В каких кружках, кроме ВМШ, занимается (градации: ни в каких; в спортивном; в техническом; в математическом; в музыкальном; в гуманитарном; в техническом и математическом; в спортивном, техническом и музыкальном; и т.д.).
	7. Какой областью искусства интересуется (градации: литературой; кино и театром; рисованием; и т.д.).
	8. Занимается спортом или нет.
	9. Какой общественной работой занимается (градации: ответственной – председатель совета отряда, звеньевой и т.п.; стенгазетой; и т.д.).
	10. Какие качества человека ему нравятся (градации: интеллектуальные (ум); моральные (честность, верность); веселость, остроумие; деловые качества; всевозможные сочетания перечисленных).
	Обрабатывались анкеты 46 пятиклассников.
	Для применения алгоритмов кластер-анализа необходимо получить матрицу попарных расстояний между признаками (вопросами). Поставим k-му признаку в соответствие матрицу , где , если i-й и j-й ученики одинаково ответили на k-й вопрос, и  в противном случае. Таким образом, матрица  задает разбиение множества всех опрошенных на группы одинаково ответивших на k-й вопрос. В качестве расстояния между p-м и q-м признаками (вопросами) будем использовать расстояние Кемени (см. разд.11.6 выше) между разбиениями rp и rq учеников на группы одинаково ответивших на p-й и q-й вопросы:
.
Рассчитанные по анкетам расстояния приведены в табл. 13.2 (вычисления проведены Г.А. Гусейновым). Данные табл. 13.2 – исходные для работы трех алгоритмов кластер-анализа: ближайшего соседа, дальнего соседа (см. разд. 6.4) и алгоритма максимизации суммы существенных внутренних связей, предложенного в работе Куперштоха В.Л., Миркина Б.Г. и Трофимова В.А.

Таблица 13.2
Расстояния между социально-психологическими признаками
способных к математике школьников 
p, q	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	
1	0										
2	1028	0									
3	1028	608	0								
4	1050	688	610	0							
5	1012	686	636	634	0						
6	1006	566	538	616	562	0					
7	1012	1026	748	692	774	732	0				
8	960	1088	1144	1122	1120	1130	1110	0			
9	1026	878	874	830	836	802	904	1040	0		
10	990	744	674	744	718	580	814	1090	830	0	
	Примечание. Матрица симметрична относительно главной диагонали, поэтому в табл. 13.2 приведены только элементы, стоящие на главной диагонали и расположенные ниже нее.

	В работе Куперштоха В.Л., Миркина Б.Г. и Трофимова В.А. предлагается находить разбиение из условия 
,
где R = {R1, R2, …, Rm} – искомое разбиение, apq – показатель связи между p-м и q-м признаками, a – параметр алгоритма. Для рассматриваемых данных положили apq = n2 – dpq, где n = 10 – число классифицируемых признаков. 
	Только что сформулированная оптимизационная задача в вычислительном плане достаточно сложна. В работе Куперштоха В.Л., Миркина Б.Г. и Трофимова В.А. предложен эвристический алгоритм её решения, который независимо от его связи с оптимизационной остановкой представляет собой некоторый алгоритм кластер-анализа. В 1976 г. мы приняли решение его использовать, т.к. в то время он представлялся наиболее соответствующим задаче, обоснованным и современным. На программирование и расчеты у Г.А. Гусейнов ушло полгода. Результаты представлены в табл. 13.3. В столбце «значение параметра» приведено значение а, при котором впервые появляется разбиение, указанное в следующем столбце. Оно сохранялось при увеличении а вплоть до значения, данного в следующей строке.

Таблица 13.3
Классификация признаков по методу Куперштоха В.Л., Миркина Б.Г. и Трофимова В.А. при различных значениях параметра а
Шаг	Параметр a	Кластеры	
1	538	{3, 6}, {1}, {2}, {4}, {5}, {7}, {8}, {9}, {10} 	
2	580	{2, 3, 6}, {1}, {4}, {5}, {7}, {8}, {9}, {10}	
3 	608	{2, 3, 5, 6}, {1}, {4}, {7}, {8}, {9}, {10}	
4	634	{2, 3, 4, 5, 6}, {1}, {7}, {8}, {9}, {10}	
5	686	{2, 3, 4, 5, 6, 10}, {1}, {7}, {8}, {9}	
6	744	{2, 3, 4, 5, 6, 7, 10}, {1}, {8}, {9}	
7	874	{2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10}, {1}, {8}	
8	990	{2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10}, {1, 8}	
9	1040	{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10}, {8}	
10	1090	{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}	

	В соответствии с общими положениями теории классификации, рассмотренными в разделе 6.4, все алгоритмы кластер-анализа должны давать близкие с содержательной точки зрения результаты, если задача разбиения на кластеры имеет решение. Поэтому мы применили к данным табл. 13.2 два иерархических агломеративных алгоритма типа «Дендрограмма» - ближайшего соседа и дальнего соседа. По каждому из алгоритмов ручной счет занял 2 - 3 часа. Результаты представлены в табл. 13.4 и табл. 13.5 соответственно. В столбцах «Параметр а» приведены расстояния между кластерами, при которых происходят очередные объединения.

Таблица 13.4
Классификация признаков по методу ближайшего соседа
при различных значениях параметра а
Шаг	Параметр a	Кластеры	
1	538	{3, 6}, {1}, {2}, {4}, {5}, {7}, {8}, {9}, {10} 	
2	562	{3, 5, 6}, {1}, {2}, {4}, {7}, {8}, {9}, {10}	
3 	566	{2, 3, 5, 6}, {1}, {4}, {7}, {8}, {9}, {10}	
4	580	{2, 3, 5, 6, 10}, {1}, {4}, {7}, {8}, {9}	
5	610	{2, 3, 4, 5, 6, 10}, {1}, {7}, {8}, {9}	
6	692	{2, 3, 4, 5, 6, 7, 10}, {1}, {8}, {9}	
7	802	{2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10}, {1}, {8}	
8	960	{2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10}, {1, 8}	
9	990	{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}	

Таблица 13.5
Классификация признаков по методу дальнего соседа
при различных значениях параметра а
Шаг	Параметр a	Кластеры	
1	538	{3, 6}, {1}, {2}, {4}, {5}, {7}, {8}, {9}, {10} 	
2	608	{2, 3, 6}, {1}, {4}, {5}, {7}, {8}, {9}, {10}	
3 	634	{2, 3, 6}, {4, 5}, {1}, {7}, {8}, {9}, {10}	
4	688	{2, 3, 4, 5, 6}, {1}, {7}, {8}, {9}, {10}	
5	744	{2, 3, 4, 5, 6, 10}, {1}, {7}, {8}, {9}	
6	878	{2, 3, 4, 5, 6, 9, 10}, {1}, {7}, {8}	
7	960	{2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10}, {1, 8}, {7}	
8	1026	{2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10}, {1, 8}	
9	1144	{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}	

	Содержательные выводы, приведенные в [2], сохраняются и при анализе табл. 13.4 и табл. 13.5. (Выводы относятся к педагогической психологии и методике математики, поэтому здесь их не приводим.) Результаты обработки реальных данных табл. 13.2 тремя алгоритмами подтверждают вывод общей теории классификации (разд. 6.4) о целесообразности использования в задачах кластер-анализа наиболее простых в расчетном смысле алгоритмов. 
	Обсудим одну встречающуюся в литературе рекомендацию. Все три использованных нами алгоритма являются однопараметрическими. Для однопараметрических алгоритмов в работах ряда авторов предлагается выделять разбиения, которым соответствуют наибольшие интервалы устойчивости по параметру, т.е. наибольшие разности значений параметров в соседних строках таблиц 13.3 – 13.5. Предполагается, что эти разбиения являются «наиболее объективными». В табл. 13.6 приведены наиболее устойчивые по параметру разбиения, построенные по данным табл. 13.2 (строки а)), а также «вторые по устойчивости» (строки б)). Различие одноименных строк в табл. 13.6, соответствующих трем алгоритмам, говорит о необоснованности рекомендации, предложенной в критикуемых работах. Содержательные выводы мы делаем по всей «дендрограмме», а не по наиболее устойчивому разбиению [2].

Таблица 13.6
Наиболее устойчивые по параметру разбиения на кластеры
Название метода 
кластер-анализа	Наиболее устойчивые по параметру
разбиения на кластеры	
Метод максимизации суммы
существенных внутренних связей	а) {2, 3, 4, 5, 6, 7, 10}, {1}, {8}, {9}
б) {2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10}, {1}, {8}	
Метод ближайшего соседа	а) {2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10}, {1}, {8}
б) {2, 3, 4, 5, 6, 7, 10}, {1}, {8}, {9}	
Метод дальнего соседа	а) {2, 3, 4, 5, 6, 10}, {1}, {7}, {8}, {9}
б) {2, 3, 4, 5, 6, 7, 9,  10}, {1,  8}	

	Необоснованность рассматриваемого предложения критикуемых авторов можно продемонстрировать не только на численных примерах, но и с помощью методологического анализа. Рассмотрим алгоритм ближайшего соседа, использующий меру близости d(x, y). Нетрудно видеть, что дендрограмма, полученная с его помощью, является инвариантной в порядковой шкале измерения меры близости d(x, y), т.е. не меняется при любом строго возрастающем преобразовании меры близости. Параметром в смысле, принятом в критикуемых работах, является численное значение меры близости между кластерами. Важны те ее значения, при которых происходит объединение кластеров. Покажем, что «наиболее устойчивое по параметру разбиение» не является инвариантным в порядковой шкале. Более того, при соответствующем подборе преобразования меры близости в качестве «наиболее устойчивого по параметру» может оказаться любое разбиение, даваемое «обрезанием» дендрограммы на том или ином уровне. Построение элементарно: выбрав произвольный интервал между соседними объединениями кластеров, рассмотрим любое строго возрастающее преобразование, оставляющее этот интервал на месте и переводящее верхний и нижний лучи оси изменения параметра в малые интервалы, примыкающие к концам неподвижного интервала. 
	Можно получить опровержение метода критикуемых работ, ограничившись более узкими семействами преобразований. Рассмотрим степенные преобразования: . Пусть при d = d1 объединяются последние два кластера, а предыдущее объединение произошло при d = d2 – после него остались эти два кластера Поскольку
,
то при достаточно большом  «наиболее объективном» по мнению критикуемых авторов будет разбиение на два кластера!
	В чем причина несостоятельности рассматриваемого предложения? Устойчивость рассматривается односторонне – относительно изменения параметра в данном алгоритме, но не относительно перехода к другому алгоритму. Стоит сделать такой переход, как «устойчивое» разбиение становится крайне неустойчивым.
	В социологии с успехом используются самые разные статистические методы, позволяющие получать в рамках данной предметной области полезные теоретические и практические выводы и рекомендации. Статистические методы социологии активно развиваются. В частности, на недавних конференциях широко обсуждалась теория люсианов (см. [7] и разд. 13.2 выше).

Литература

1. Шляпентох В.Э. Социология для всех: некоторые проблемы, результаты, методы. - М.: Советская Россия, 1970. – 250 с.
2. Орлов А.И. О теоретических основах внеклассной работы по математике и опыте Вечерней математической школы при Московском математическом обществе / Бюллетень №2 Всесоюзного центра статистических методов и информатики. - М.: ВЦСМИ, 1991. – 48 с. 
3. Орлов А.И. Статистические методы в российской социологии (тридцать лет спустя) // Социология: методология, методы, математические модели. 2005. No.20. С.32-53.
4. Толстова Ю.Н. Математические методы в социологии // Социология в России. Под ред. В.А. Ядова. - 2-е изд., перераб. и дополн. - М.: Издательство Института социологии РАН, 1998. - С.83-89, 98-103.
5. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. -М.: Наука, 1979. – 296 с.
6. Анализ нечисловой информации в социологических исследованиях. / Под ред. В.Г. Андреенкова, А.И. Орлова, Ю.Н. Толстовой. - М.: Наука, 1985. – 200 с.
7. Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование: учебник : в 3 ч. Часть 1: Нечисловая статистика. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. – 2009. – 541 с.
8. Орлов А.И. Случайные множества с независимыми элементами (люсианы) и их применения. – В сб.: Алгоритмическое и программное обеспечение прикладного статистического анализа. Ученые записки по статистике, т.36. - М.: Наука, 1980. - С. 287-308. 
9. Титма М.Х., Тоодинг Л.М. Математические методы в арсенале социолога // Социологические исследования. - 1986. - №4. - С.123-128.
10. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения: Том 2. – М.: Мир, 1984. – 738 с.
11. Орлов А.И., Нечаева Е.Г., Соколов А.В. Статистика объектов нечисловой природы и анализ данных о научном потенциале // Социология: методология, методы, математические модели. - 1995. - № 5-6. - С.118-136.
12. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Изд. 2-е, исправленное и дополненное. - М.: Просвещение, 1984. - 288 с. 
13. Орлов А.И. Менеджмент: организационно-экономическое моделирование. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2009. - 475 с.

Контрольные вопросы

1. Расскажите о развитии статистических методов в отечественной социологии.
2. Дайте определение понятию «люсиан».
3. Для проверки каких статистических гипотез используют теорию люсианов?
4. Как рекомендуют выбирать число градаций в социологических анкетах на основе изучения асимптотики квантования?
5. Как применяют асимптотику квантования в логистике? 
6. Чем неформальный лидер отличается от формального?
7. Почему менеджеру полезно социометрическое исследование?
8. Для решения каких практических задач применяют выборочные исследования научных организаций?
9. Как анкетные исследования помогают повышать эффективность маркетинговых коммуникаций в области образовательных услуг?
10. Расскажите об использовании опросов в сочетании с методами кластер-анализа для построения типологии учащихся. 
 
Темы докладов, рефератов, исследовательских работ

1. Статистические данные в социологии и методы их анализа.
2. Построение непараметрической теории парных сравнений на основе теории люсианов.
3. Несмещенные оценки в теории люсианов.
4. Принцип уравнивания погрешностей и выбор числа градаций в социологических анкетах.
5. Тождество Вальда для математического ожидания суммы случайного числа случайных слагаемых.
6. Асимптотическая теория суммирования случайного числа случайных слагаемых. 
7. Современные методы социометрии.
8. Динамика статистических показателей, характеризующих состояние науки в России.
9. Статистические методы в науковедении и управлении наукой.
10. Наукометрия как область научных и прикладных исследований с интенсивным использованием статистических методов. 
11. Статистические методы в педагогических исследованиях.